Неравенство Чебышёва: минимальная доля данных около среднего

Для любого распределения не менее 1 − 1/k² значений лежат в пределах k стандартных отклонений от среднего. Расчёт по k или по диапазону.

Данные

Встроить калькулятор на свой сайт

Скопируйте код и вставьте на страницу — калькулятор будет работать внутри вашего сайта. Ссылка на источник уже включена в виджет.

<iframe src="https://itcalcs.ru/embed/neravenstvo-chebysheva/" width="100%" height="560" style="border:0;max-width:760px" loading="lazy" title="Неравенство Чебышёва: минимальная доля данных около среднего"></iframe>

75 %минимум при k = 2значений в пределах 2σ

88,9 %минимум при k = 3значений в пределах 3σ

93,75 %минимум при k = 4значений в пределах 4σ

70 … 130диапазондля μ = 100, σ = 15, k = 2

Что такое неравенство Чебышёва

Неравенство Чебышёва даёт нижнюю границу доли значений, лежащих рядом со средним, для любого распределения с конечной дисперсией. Калькулятор определяет эту долю по числу стандартных отклонений k или по ширине диапазона.

Для любого распределения

Не нужно знать форму распределения, достаточно среднего и стандартного отклонения.

Два способа ввода

Задайте k либо полуширину диапазона, а калькулятор пересчитает второе.

Гарантированный минимум

Результат показывает долю не меньше указанной, реальная доля может быть выше.

Формула неравенства Чебышёва

Доля значений за пределами kσ не превышает 1/k².

Неравенство

Вероятность отклониться от среднего меньше чем на kσ не меньше 1 − 1/k².

P(|X − μ| < kσ) ≥ 1 − 1/k²

μ — среднее, σ — стандартное отклонение, k больше 1. При k = 2 получаем 1 − 1/4 = 75 %.

Связь k и диапазона

Если известна полуширина диапазона d, то k находят делением на σ.

k = d / σ

При d = 30 и σ = 15 получаем k = 2.

Грубая оценка Реальная доля обычно значительно выше. Для нормального распределения при k = 2 она 95,45 %.

Только при k больше 1 При k ≤ 1 неравенство даёт тривиальную оценку и не информативно.

Для чего нужно неравенство Чебышёва

Оно полезно, когда о распределении почти ничего не известно.

Оценки без знания формы

Гарантия доли значений при неизвестном распределении.

Теория вероятностей

Используется в доказательствах закона больших чисел.

Задачи ЕГЭ и олимпиад

Типовые задачи на оценку вероятности.

Контроль качества

Консервативный запас для допусков.

Как читать результат

Результат — нижняя граница, а не точная доля.

Малое k

При k, близком к 1, гарантированная доля мала.
Оценка почти ничего не говорит.
Увеличьте k.

k от 2 до 3

Гарантируется 75–⁠88,9 % значений.
Практическая доля обычно выше.
Сравните с правилом трёх сигм.

Большое k

При k = 4 гарантировано 93,75 %.
Рост доли замедляется.
Для строгих выводов этого может быть достаточно.

Советы по применению

Используйте оценку там, где она уместна.

Применяйте для произвольных данных

Для нормальных данных точнее правило трёх сигм.

Помните о консервативности

Оценка снизу, реальная доля выше.

Проверяйте σ

Нужна конечная дисперсия и корректное стандартное отклонение.

Переводите диапазон в k

Разделите полуширину на σ, чтобы получить k.

Неравенство Чебышёва: минимальная доля данных около среднего онлайн

Для любого распределения не менее 1 − 1/k² значений лежат в пределах k стандартных отклонений от среднего. Расчёт по k или по диапазону. Калькулятор доступен бесплатно, работает на компьютере и телефоне и подходит для быстрой проверки расчётов.

Как пользоваться калькулятором «неравенство Чебышёва»

Выберите «Исходные данные».
Укажите «k».
Укажите «Среднее».
Укажите «Стандартное отклонение».
Укажите «Полуширина диапазона».
Результат появится справа мгновенно — нажимать кнопку «Рассчитать» не нужно.

Пример расчёта

Если исходные данные — Задано k (число σ); k — 2; среднее — 100; стандартное отклонение — 15, то результат: не менее: 75 %; k (в стандартных отклонениях): 2; диапазон: 70 … 130.

Частые вопросы

В чём сила неравенства Чебышёва?

Оно работает для любого распределения с конечной дисперсией.

Почему оценки грубее правила трёх сигм?

Потому что не требует нормальности и даёт гарантированную нижнюю границу.

Как посчитать долю по неравенству Чебышёва?

Вычислите 1 − 1/k². При k = 2 получится 75 %, при k = 3 примерно 88,9 %, при k = 4 93,75 %. Калькулятор выполняет эти действия и показывает диапазон.

Как найти k по диапазону?

Разделите полуширину диапазона на стандартное отклонение. Для диапазона 70–130 вокруг среднего 100 полуширина 30, при σ = 15 получаем k = 2, то есть гарантированно не менее 75 % значений.

Применимо ли неравенство при k меньше 1?

Формально да, но оценка отрицательна или нулевая и бесполезна. Содержательная оценка получается при k больше 1, поэтому калькулятор требует такого значения.

Где используется неравенство Чебышёва?

В теории вероятностей, статистике и контроле качества: для доказательства закона больших чисел и для грубых гарантий, когда распределение неизвестно.

Как пользоваться калькулятором «неравенство Чебышёва»?

Заполните поля формы — результат рассчитывается автоматически и обновляется при каждом изменении значений. Можно скопировать результат, распечатать страницу или отправить ссылку с вашими данными.

По какой формуле считает калькулятор «неравенство Чебышёва: минимальная доля данных около среднего»?

P(|X − μ| < kσ) ≥ 1 − 1/k² при k > 1.

Нужно ли регистрироваться и платить?

Нет. Калькулятор бесплатный и работает без регистрации. Введённые данные обрабатываются в вашем браузере и никуда не отправляются.

Теги:#неравенство чебышева#чебышев калькулятор#доля значений около среднего#теорема чебышева#теорема чебышёва вероятность#неравенство чебышева егэ#доля данных вокруг среднего#чебышёв и правило трёх сигм#оценка вероятности отклонения#закон больших чисел чебышёв#задачи на неравенство чебышёва с решением

Страница обновлена: 01.11.2026. Формулы и значения проверяются при каждом обновлении каталога.