Независимые испытания
Каждое испытание заканчивается успехом или неудачей, а результат одного не влияет на другие: бросок монеты, выстрел, проверка изделия.
Математика
Биномиальное распределение: вероятность k успехов
Вероятность ровно k, не более k и не менее k успехов в n независимых испытаниях, среднее и дисперсия.
Данные
26,68 %P(X = k)ровно 3 успеха в 10 испытаниях при p = 30 %
64,96 %P(X ≤ k)не более трёх успехов
61,72 %P(X ≥ k)не менее трёх успехов
1,449стандартное отклонениесреднее np = 3
Что такое биномиальное распределение
Биномиальное распределение описывает число успехов в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых успех наступает с одной и той же вероятностью p. Калькулятор находит вероятность ровно k успехов, не более k и не менее k, а также среднее и стандартное отклонение числа успехов.
Три вероятности сразу
Показаны P(X = k), P(X ≤ k) и P(X ≥ k), чтобы можно было ответить на вопросы «ровно», «не более» и «не менее».
Среднее и разброс
Среднее число успехов равно np, а стандартное отклонение показывает, насколько сильно результат обычно отклоняется от среднего.
Формула Бернулли и характеристики распределения
Вероятность конкретного числа успехов даёт формула Бернулли, а накопленные вероятности получаются суммированием.
Вероятность ровно k успехов
Число способов выбрать k успешных испытаний из n умножают на вероятность успехов и неудач в нужных степенях.
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏC(n, k) — число сочетаний, p — вероятность успеха, n — число испытаний. Для n = 10, k = 3, p = 0,3 получается 0,2668.
Среднее и дисперсия
Среднее число успехов пропорционально числу испытаний, а разброс зависит ещё и от доли неудач.
Среднее = np; дисперсия = np(1 − p)Для n = 10 и p = 0,3: среднее 3, дисперсия 2,1, стандартное отклонение около 1,449.
Условия применимости Формула верна, если число испытаний фиксировано, исходов два, а вероятность успеха не меняется от опыта к опыту.
Накопленные вероятности P(X ≤ k) — сумма вероятностей от 0 до k, а P(X ≥ k) равна единице минус P(X ≤ k − 1).
Для чего нужен калькулятор биномиального распределения
Он помогает оценить шансы в любой серии однотипных испытаний.
Теория вероятностей
Проверяйте решения задач на формулу Бернулли и закрепляйте различие между «ровно», «не более» и «не менее».
Контроль качества
Оцените вероятность того, что в партии из n изделий окажется определённое число бракованных при известной доле брака.
Тесты и экзамены
Рассчитайте шанс угадать k вопросов из n, если на каждый вопрос вероятность угадывания одинакова.
Маркетинг и опросы
Оцените, сколько из n адресатов откликнутся на рассылку, если известна доля откликов.
Как читать результат
Сравните вероятность нужного исхода со средним числом успехов np.
Результат маловероятен
- Вероятность ниже нескольких процентов: событие редкое.
- Проверьте, не перепутаны ли «ровно k» и «не менее k».
- Если k далеко от np, ожидайте малую вероятность.
Результат типичен
- k близко к среднему np, а вероятность заметна.
- Накопленные вероятности показывают реалистичный диапазон исходов.
- Около среднего ±1 стандартное отклонение лежит большая часть исходов.
Исход почти неизбежен
- Вероятность P(X ≤ k) или P(X ≥ k) близка к 100 %.
- Это значит, что противоположный исход очень редок.
- Проверьте, что вероятность успеха введена в процентах, а не в долях.
Советы по расчёту вероятности
Эти приёмы помогут корректно применять формулу.
Определите успех
Сформулируйте, что считается успехом, и сопоставьте с этим вероятность p. Для брака успехом будет именно бракованное изделие.
Проверьте независимость
Если испытания зависимы, как при выборке без возвращения из небольшой партии, распределение иное.
Вводите p в процентах
В калькуляторе вероятность задана в процентах, поэтому 0,3 нужно записать как 30.
Используйте дополнение
Вероятность «хотя бы один успех» проще найти как единицу минус вероятность нуля успехов.
Биномиальное распределение: вероятность k успехов онлайн
Вероятность ровно k, не более k и не менее k успехов в n независимых испытаниях, среднее и дисперсия. Калькулятор доступен бесплатно, работает на компьютере и телефоне и подходит для быстрой проверки расчётов.
Как пользоваться калькулятором «биномиальное распределение»
- Укажите «Число испытаний n».
- Укажите «Число успехов k».
- Укажите «Вероятность успеха в одном испытании» (%).
- Результат появится справа мгновенно — нажимать кнопку «Рассчитать» не нужно.
Пример расчёта
Если число испытаний n — 10; число успехов k — 3; вероятность успеха в одном испытании — 30 %, то результат: p(X = k): 26,6828 %; p(X ≤ k): 64,9611 %; p(X ≥ k): 61,7217 %; среднее np: 3.
Частые вопросы
Как рассчитать биномиальную вероятность?
Используйте формулу Бернулли P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Для n = 10, k = 3 и p = 0,3 получится около 26,7 %. Калькулятор подставляет значения сам и выдаёт ещё накопленные вероятности.
Что такое биномиальное распределение простыми словами?
Это закон, по которому распределено число успехов в нескольких одинаковых независимых попытках. Например, сколько раз выпадет орёл при десяти бросках монеты. Каждое k от 0 до n имеет свою вероятность.
Чем P(X ≤ k) отличается от P(X ≥ k)?
P(X ≤ k) — вероятность получить не более k успехов, а P(X ≥ k) — не менее k. Они пересекаются в точке k, поэтому их сумма больше 100 %. В примере 64,96 % и 61,72 %.
Чему равно среднее и дисперсия биномиального распределения?
Среднее равно np, дисперсия — np(1 − p). Для десяти испытаний при вероятности 30 % среднее равно 3, дисперсия 2,1, а стандартное отклонение около 1,449. Они показывают центр и разброс числа успехов.
Когда биномиальное распределение не подходит?
Когда вероятность успеха меняется от испытания к испытанию или испытания зависимы друг от друга. Например, при выборке без возвращения из малой совокупности точнее гипергеометрическое распределение.
Как найти вероятность хотя бы одного успеха?
Вычтите из единицы вероятность нуля успехов: 1 − (1 − p)ⁿ. Для p = 0,3 и n = 10 это 1 − 0,7¹⁰, то есть около 97 %. Такой приём быстрее, чем суммировать вероятности от одного до n.
Как пользоваться калькулятором «биномиальное распределение»?
Заполните поля формы — результат рассчитывается автоматически и обновляется при каждом изменении значений. Можно скопировать результат, распечатать страницу или отправить ссылку с вашими данными.
По какой формуле считает калькулятор «биномиальное распределение: вероятность k успехов»?
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Среднее = np, дисперсия = np(1 − p).
Нужно ли регистрироваться и платить?
Нет. Калькулятор бесплатный и работает без регистрации. Введённые данные обрабатываются в вашем браузере и никуда не отправляются.
Страница обновлена: 01.11.2026. Формулы и значения проверяются при каждом обновлении каталога.
Похожие калькуляторы
Цифровой корень числа
Цифровой корень (сумма цифр до одной цифры), сумма цифр и признаки делимости на 3 и 9.
Распределение Пуассона
Вероятность ровно k, не более k и не менее k событий при среднем числе событий λ.
Сумма ряда чисел от 1 до N
Сумма натуральных чисел, их квадратов, кубов, а также сумма чётных и нечётных чисел до N.
Вероятность при нормальном распределении
Вероятность попадания значения в интервал для нормального распределения с заданными средним и стандартным отклонением.
Длина вектора и угол направления
Длина вектора на плоскости, угол относительно оси X и единичный вектор.
Коэффициент корреляции Пирсона
Коэффициент корреляции двух рядов чисел, коэффициент детерминации и уравнение линейной регрессии.